成长教育

让我们用一道选择题，当作本文的切入点。请问下列叙述何者为真？

A.图灵是“人工智能之父”

B.图灵本人并非人工智能

C.数学是自然科学之母

D.数学本身并非自然科学

E.以上皆是

如果您一时拿不定主意，不妨先看看下面的分析，再选出心中的正确答案。

自然科学的研究对象存在于自然界，数学则否

早在两千多年前，数学就经历了一次脱胎换骨的过程，将研究对象从看得见摸得到的东西，如牛羊和土地，逐步抽象为看不见摸不到的概念。举例而言，一只鸡、两只鸭、三只鹅和1、2、3就有本质上的差异，前者具体，后者抽象。数学公式也是同样的道理，例如1+2=3能描述无数的实际情况，而a+b=c适用性更广，这就是抽象化的威力。

几何形体也应作如是观，比方说，数学家定义的“圆”是一种完美无瑕的结构，至于真实世界的圆形，无论太阳、满月或车轮都各有各的瑕疵。虽然纳米科学家已经能将原子排成一圈，但在数学家眼中，这样的圆圈仍和一串念珠相差无几。

数学成果可以证明不能推翻，自然科学刚好相反

自然科学或多或少会使用归纳法，然而研究对象无穷无尽，任何结论都不可能一一验证毫无遗漏，因此它们都是若干时日后有可能被推翻的定律。

反之，数学的重要成果皆来自演绎，一旦导出或得证便永远成立。即使有人用无懈可击的方法推导出1+1=10，也并未否定1+1=2，他只是改用二进位制罢了。

自然科学的成果皆为发现，数学则接近发明

自然科学研究的是既存事物或规律，任何成果都不算无中生有，所以当然属于发现。

至于数学公式或定理，既然基本元素全是抽象概念，广义来说无一不是心智运作的产物。你可以发明1+1=2，他可以发明1+1=10，而图灵则可以发明1+1=11（想想这是几进位？）。

数学可以任意推广，自然科学则有限制

推广既有成果是数学家的天性，例如从平面几何推广到球面几何乃至立体几何，都是古希腊数学家的辉煌成就。后起之秀则更上N层楼，继续用想象力开发更高维度的空间，获得相当丰硕的成果。

这些空间和真实世界没有直接关系，甚至间接关系也不存在，其学术价值却受到一致肯定，不会有数学家质疑实用与否。

数学基础与自然科学基本精神颇有出入

演绎科学必须建立在坚实的根基上，否则无异于沙上城堡。因此，早在欧几里得的时代，数学便走上一条特立独行的公理化之路。

纵使公理一律具有不证自明的特色，“所有的直角彼此相等”便是典型的例子，但公理化的基本精神除了不证自明，还有不容置疑，这在很多人心中，显然就有违科学精神了。

不过，就自然科学观点而言，数学基础中最离经叛道的并非公理，而是所谓的“无定义名词”。这些名词被剥夺了拥有明确定义的资格，但它们所代表的概念起码符合你我的直觉经验。这么说虽然有点玄，事实上，无定义名词的实例并不罕见，几何学的点和直线都是这个家族的成员。

至于为何要弄得如此神秘，数学家当然有不得已的苦衷。倘若不以无定义名词当作人为的出发点，一定会有人发挥追根究底的精神，没完没了一路追问下去，那么数学的根基注定成为无底洞，怎么也找不到着力之处。

真理越辩越明。现在，正确答案是不是呼之欲出了？

（作者系科普科幻作家、译者）

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